Matematika Berhingga Contoh

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 \end{array}]$

Langkah 1

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Langkah 1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 6 \end{array} |$

Langkah 1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 6 \end{array} |$

Langkah 1.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 6 \end{array} |$

Langkah 1.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 6 \end{array} |$

Langkah 1.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Langkah 1.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Langkah 1.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 6 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 6 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Langkah 1.2

Evaluasi $| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 6 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (3 \cdot 6 - 3 \cdot 4) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 6 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Langkah 1.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Kalikan $3$ dengan $6$ .

$1 (18 - 3 \cdot 4) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 6 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Langkah 1.2.2.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $4$ .

$1 (18 - 12) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 6 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Langkah 1.2.2.2

Kurangi $12$ dengan $18$ .

$1 \cdot 6 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 6 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Langkah 1.3

Evaluasi $| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 6 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 6 - 1 (2 \cdot 6 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Langkah 1.3.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$1 \cdot 6 - 1 (12 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Langkah 1.3.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$1 \cdot 6 - 1 (12 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Langkah 1.3.2.2

Kurangi $4$ dengan $12$ .

$1 \cdot 6 - 1 \cdot 8 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Langkah 1.4

Evaluasi $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 6 - 1 \cdot 8 + 1 (2 \cdot 3 - 1 \cdot 3)$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$1 \cdot 6 - 1 \cdot 8 + 1 (6 - 1 \cdot 3)$

Langkah 1.4.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$1 \cdot 6 - 1 \cdot 8 + 1 (6 - 3)$

Langkah 1.4.2.2

Kurangi $3$ dengan $6$ .

$1 \cdot 6 - 1 \cdot 8 + 1 \cdot 3$

Langkah 1.5

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$6 - 1 \cdot 8 + 1 \cdot 3$

Langkah 1.5.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$6 - 8 + 1 \cdot 3$

Langkah 1.5.1.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$6 - 8 + 3$

Langkah 1.5.2

Kurangi $8$ dengan $6$ .

$- 2 + 3$

Langkah 1.5.3

Tambahkan $- 2$ dan $3$ .

$1$

Langkah 2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Langkah 3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 6 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 3 - 2 \cdot 1 & 4 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 1 & 3 & 6 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & - 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 6 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & - 2 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 3 - 1 & 6 - 1 & 0 - 1 & 0 - 0 & 1 - 0 \end{array}]$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 5 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 5 - 2 \cdot 2 & - 1 - 2 \cdot - 2 & 0 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & - 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.4

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & - 2 - 2 \cdot 3 & 1 - 2 \cdot - 2 & 0 - 2 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & - 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.4.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 8 & 5 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & - 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 1 - 3 & 0 + 2 & 0 - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 8 & 5 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & - 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.5.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 2 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 8 & 5 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & - 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & - 2 + 8 & 2 - 5 & - 1 + 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 8 & 5 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & - 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.6.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 6 & - 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 8 & 5 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & - 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 1 \\ - 8 & 5 & - 2 \\ 3 & - 2 & 1 \end{array}]$